D'aprés l ENS

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Modérateur: Chifo

D'aprés l ENS

Messagede Chifo le Ven 7 Sep 2007, 15:21

Dans R² muni d'une norme quelconque, pour un réel >0 e ,on dit qu'une partie A d'un compact K e-recouvre K si K est inclus dans l'unnion des boules fermées
B(a,e) pour a décrivant A ;

Montrer qu'il existe un entier n(e) telle toute partie e-recouvrant K contienne au moins n(e) éléments. Ensuite montrer qu'il existe une partie A qui e-recouvre K et qui contient exactement n(e) éléments.

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Re: D'aprés l ENS

Messagede Chifo le Ven 7 Sep 2007, 15:22

soit e>0
et soient k un compact de et A un e-recouvrement de K. alors on peux extraire un e-recouverement fini de k (car K compacts.)
notons de recouvrement fini f(A).
maintenant soit E={|f(A)|: A e-recouvrement de K}
E est une partie non vide de N*, donc il admet un min,
on prend donc n(e)=min(E).
donc on peux conclure facilement deux chose:

1) tout e-recouvrement de A contiens au moin card(f(A)) elements et on a card(f(A))>=n(e) ( par definition de min )
d'ou toute partie e-recouvrant K contienne au moins [b]n(e) éléments.[/b]

2) par definition de min aussi, on peux conclure qu'il exist A qui recouver K tel que card(f(A))=n(e)
et on a donc f(A) un e-recouvrement de K qui as exactement n(e) elements
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