Théorème de Cayley-Hamilton

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Modérateur: Chifo

Théorème de Cayley-Hamilton

Messagede Chifo le Ven 7 Sep 2007, 15:13

1/ Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables dans Mn(C) est dense dans Mn(C)
2/ En déduire une preuve du théorème de Cayley-Hamilton : pour M dans Mn(C), le polynôme caratéristique de M annule M
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Re: Théorème de Cayley-Hamilton

Messagede Chifo le Ven 7 Sep 2007, 15:14

voila la demonstration la plus astucieuse jamais faite de ce theroeme
on a (A-xI)*tr(Com(A-xI))=det(A-xI)*I
en posant P le polynome caractéristique de A
on a
((A-xI)*tr(Com(A-xI))=p(x)*I
soit pour x=A
on p(A)=0(la matrice nulle)

d'ou le resultat
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